Вот так надо писать: фавыконка (favicon).

Буква „ы“ там пишется вместо „и“ по аналогии с тем, как это происходит в начале корней после русских приставок (имя — безымянный; игра — сыграть). Не пишите мне в комментарии, что „фав“ не есть русская приставка — я это знаю. Просто именно такое написание наиболее удобно с точки зрения удобочитаемости, а аналогией с «сыгрыванием» мы лишь пользуемся как оправданием за изменение буквы в корне.